Bài giảng Cơ lưu chất - Chương 6: Thế lưu - Huỳnh Công Hoài
THEÁ LÖU
Chöông 6
I. ÑÒNH NGHÓA THEÁ LÖU:
r
khoâng phuï thuoäc vaøo ñöôøng ñi töø A ñeán B
∫
Ñeå ñieàu kieän treân thoûa maõn, caàn coù moät
haøm ϕ(x,y) sao cho
∂ϕ
∂
∂ϕ
∂
r
=
=
vaø
=
ϕ
ϕ(x,y) : Haøm theá vaän toác
Ngoaøi ra
r
v
ω =
Chuy n ñoäng theá laø moät chuyeån ñoäng
khoâng quay
r
ω =
ϕ =
II. MOÄT SOÁ Ø KHAÙI NIEÄM
1. Haøm theá vaän toác (ϕ):
Trong toïa ñoä cöïc
Trong toïa ñoä descarde
∂ϕ
∂x
∂ϕ
∂y
∂ϕ
∂r
∂ϕ
r ∂θ
ux =
; uy =
ur =
; uθ =
Khi cho ϕ= Const => ñöôøng ñaúng theá
+ Phöông trình ñöôøng ñaúng theá:
Haøm soá theá thoûa maõn Phöông trình Laplace
∂ ϕ ∂ ϕ
PT Laplace
+
=
∂
∂
∇ ϕ = Δϕ =
Toùm taét baøi giaûng - TS Huyønh coâng Hoaøi ÑHBK tp HCM 1
2. Haøm doøng (ψ) :
y
u
trong toïa ñoä cöïc
trong toïa ñoä Descarte
uθ
∂ψ
∂y
∂ψ
∂x
1 ∂ψ
r ∂θ
∂ψ
∂r
ur
ux =
;
uy = −
u =
; uθ =−
r
r
x
θ
Moät soá tính chaát cuûa haøm doøng:
+Trong baát kyø doøng chaûy naøo cuõng coù theå tìm ñöôïc haøm doøng
Luoân luoân coù
∂ψ
∂x
⎛
⎞
∂
∂
∂ψ
∂
∂
∂
∂ψ
∂
⎛
⎜
⎞
⎟
∂ψ
∂y
uy = −
⎜
⎜
⎟
⎟
−
=
ux =
⎝
⎠
⎝
⎠
∂
∂
∂
Luoân tìm ñöôïc ψ(x,y)
So saùnh vôùi pt lieân tuïc
+
=
∂
+ Trong chuyeån ñoäng theá ψ thoaû maõn phöông trình Laplace
∂ ψ ∂ ψ
+
=
∂x
∂y
v
∂
∂
∂
Töø
Rot(u) = 0
−
=
∂
∂ ψ ∂ ψ
⎛
⎞
∂
∂
∂ψ
∂
∂
∂
∂ψ
∂
⎛
⎜
⎞
+
=
⎜
⎜
⎟
⎟
−
−
=
⎟
⎠
∂x
∂y
⎝
⎝
⎠
-Khi cho ψ = C thì ñaây chính laø phöông trình moät ñöôøng doøng
Söï thay ñoåi giaù trò ψ taïi 2 ñieåm
(x,y) vaø ñieåm (x+dx, y+dy) treân
ñöôøng ψ = C
y
ψ(x,y) = C
∂ψ
∂
∂ψ
∂
ψ =
+
ψ = −
+
o
x
−
+
=
ψ =
maø ψ(x,y) = C
=
Phöông trình ñöôøng doøng
Vaäy caùc ñieåm naày thoûa maõn pt ñöôøng doøng hay noùi caùch khaùc ñöôøng ψ(x,y) = C laø
moät ñöôøng doøng
Toùm taét baøi giaûng - TS Huyønh coâng Hoaøi ÑHBK tp HCM 2
+ Löu löôïng (q) ñi qua giöõa 2 ñöôøng doøng A,B baèng q = ψB - ψA
∂ψ
∂
∂ψ
∂
⎛
⎝
⎞
⎟
=
− −
⎜
dq = ux dy-uydx
⎠
ψB
∂ψ
∂
∂ψ
∂
=
+
uy
dx
dq
ux
dy
y
ψ+ dψ
dq = dψ
ψ
ψ
x
Nhö vaäy
=
ψ =ψ −ψ
ψA
∫
ψ
3. Moái quan heä giöõa haøm doøng vaø haøm theá:
∂ϕ ∂ψ ∂ϕ ∂ψ
+
=
∂
∂
∂
∂
Ñöôøng doøng vaø caùc ñöôøng ñaúng theá tröïc giao vôùi nhau
Löôùi thuûy ñoäng
II.MOÄT SOÁ CAÙC CHUYEÅN ÑOÄNG THEÁ ÑÔN GIAÛN
1. Chuyeån ñoäng ñeàu naèm ngang
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ψ
=
=
ψ
ψ
ψ
ψ
- Ñaây laø moät chuyeån
r
ñoäng theá vì
=
Haøm theá : ϕ(x,y)
∂ϕ
=
∂ϕ
∂
ϕ
=
ϕ =
+
ϕ =
=
∂
∂ϕ
∂
∂ϕ
=
=
ϕ = ϕ
∂
Haøm doøng : ψ (x,y)
∂ψ
∂
∂ψ
∂
ψ
ψ = Uo y
ϕ =
+
=
=
=
∂ψ
∂
∂ψ
∂
=
ψ = ψ
= −
Toùm taét baøi giaûng - TS Huyønh coâng Hoaøi ÑHBK tp HCM 3
2. Ñieåm nguoàn vaø gieáng
Xeùt moät ñieåm nguoàn coù cöôøng ñoä q (m2/s)
Töø phöông trình lieân tuïc
=
=
θ
•
π
θ
=
=
θ =
θ =
=
=
π
π
π
π
π
+
+
(
(
)
)
q
θ =
θ =
π
=
r
Veà nhaø ??
Haøm theá : Trong toïa ñoä cöïc ϕ(r,θ)
ϕ
∂ϕ
∂
∂ϕ
∂
ϕ =
ϕ =
+
=
=
=
=
π
π
π
π
∂ϕ
∂θ
∂ϕ
∂θ
ϕ = ϕ
Trong toïa ñoä descarte
=
θ
ϕ =
+
(
)
π
Haøm doøng: Trong toïa ñoä cöïc ψ(r,θ)
ψ =
(Trong toïa ñoä descarte)
ψ =
θ
π
π
Löôùi thuûy ñoäng:
Ñöôøng theá :
ϕ =
π
πϕ
Phöông trình voøng
troøn taâm O baùn kính
ϕ =
=
π
Ñöôøng doøng : ψ =
θ
π
Phöông trình ñöôøng thaúng
πψ
ψ2
ψ =
θ
θ =
qua taâm nghieâng moät goùc θ
π
ψ3
ψ3
ψ4
ψ4
ψ2
r
ψ1
r
ψ1= 0
o
o
ψ5
ϕ1
ϕ2
ϕ1
ϕ2
ϕ3
ϕ3
ψ6
ψ8
ψ7
−
π
Ñieåm huùt : töông töï
ñieåm nguoàn thay -q
ψ =
θ
Ñieåm nguoàn
ϕ = −
π
Toùm taét baøi giaûng - TS Huyønh coâng Hoaøi ÑHBK tp HCM 4
3. Xoaùy töï do
Doøng chaûy treân nhöõng ñöôøng troøn ñoàng taâm, coù vaän toác
Γ
π
=
=
θ
r
Γ : löu soá vaän toác ( haèng soá)
o
- Ñaây laø moät chuyeån ñoäng theá
- Haøm theá:
ϕ
Γ
π
Toïa ñoä cöïc
ϕ =
θ
ϕ
ϕ
Γ
2π
y
x
⎝ ⎠
⎛ ⎞
Toïa ñoä Descarte
ϕ =
arctg
⎜ ⎟
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
- Haøm doøng :
Toïa ñoä cöïc
− Γ
π
ψ =
ψ =
ln(r)
Γ
xoaùy döông
ψ
− Γ
π
Toïa ñoä Descarte
ln( x + y )
Ghi chuù:
Γ>0: xoaùy döông ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà; Γ<0: xoaùy aâm thuaän chieàu kim ñoàng hoà;
4. Löôõng cöïc:
Nguoàn
q
y
Huùt
-q
- Ñieåm nguoàn + huùt coù cuøng löu löôïng q ñaët caùch
nhau moät ñoaïn ε voââ cuøng nhoû treân truïc hoaønh
ε/2 ε/2
x
o
- Haøm theá
ϕ = ϕN + ϕH
Vôùi ñieåm nguoàn vaø ñieåm huùt naèm ôû taâm
− q
4π
q
4π
x2 + y2
)
ϕH =
Ln
(
x2 + y2
)
ϕN =
Ln
(
− q
4π
ϕH =
Ln
((
x − ε / 2
)
2 + y2
)
q
4π
Ñoåi truïc
ϕN =
Ln
((
x + ε / 2
)
2 + y2
)
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
ε
ε
⎛
⎜
⎞
⎟
x +
x −
+ y
+ y
⎡
⎢
⎤
⎥
⎛
⎛
⎞
⎟
⎠
⎛
⎞
⎟
⎟
⎠
q
π
q
π
ε
ε
⎝
⎠
⎞
⎟
⎛
⎝
⎞
⎟
ln
⎜
⎟
⎜
⎜
ϕ = ϕn + ϕh =
ln x +
+ y − ln x −
+ y
⎜
⎜
⎝
⎝
⎜
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
⎠
⎠
⎢
⎣
⎥
⎦
⎝
⎡
⎤
⎥
⎥
⎥
ε
ε
2
2
x + xε +
x − xε +
+ y
+ y
⎡
⎤
⎡
⎤
⎢
⎢
⎢
+ ε +
− ε +
q
4π
x − xε + xε + xε + y
x2 − xε + y2
q
π
ln
ln
=
⎢
⎣
⎥
⎦
⎢
⎥
⎦
π
⎣
⎢
⎣
⎥
⎦
2
2
⎡
⎤
q
π
xε
⎡
⎤
q
4π
x − xε + y + 2xε
x2 − xε + y2
ln
+
ln
⎢
⎥
⎢
⎣
⎥
⎦
x − xε + y
⎣
⎦
⎡
⎤
q
xε
Maø: ln(1+x) = x-x2 /2 + x3 /3 - . . . .
ϕ =
⎢
⎥
π x − xε + y
⎣
⎦
Toùm taét baøi giaûng - TS Huyønh coâng Hoaøi ÑHBK tp HCM 5
Löôõng cöïc ñöôïc ñònh nghóa
- Khi ε → 0 thì εq → m0 ( mo: cöôøng ñoä cuûa löôõng cöïc)
Löôõng cöïc
⎡
⎢
⎤
q
xε
q ⎡
xε
⎤
ϕ =
ϕ =
ϕ =
⎥
lim
⎢
⎥
π x − xε + y
π
x − xε + y
iε −>
⎣
⎦
⎣
⎦
y
⎡
⎢
⎤
m0
x
⎥
2π x2 + y2
⎣
⎦
ψ
m cosθ
πr
Trong toïa ñoä cöïc
ϕ =
o
x
− m
π
y
ψ =
- Haøm doøng : Töông töï coù
Trong toïa ñoä cöïc
x + y
ϕ
m sinθ
πr
ψ = −
III CHOÀNG CHAÄP CAÙC CHUYEÅN ÑOÄNG THEÁ
Choàng chaäp chuyeån ñoäng theá seõ cho ra moät
chuyeån ñoäng theá
Caùc theá löu ñeàu thoûa
maõn pt Laplace
1. Chuyeån ñoäng qua nöûa coá theå
Haøm theá vaän toác
Doøng ñeàu + nguoàn
+
+
ϕ = ϕu+ ϕs =
(Toïa ñoä descartes)
(Toïa ñoä cöïc)
π
ϕ = ϕu+ ϕs =
θ +
π
Haøm doøng
q
+
ψ= ψ u+ ψs =
(Toïa ñoä descartes)
(Toïa cöïc)
π
ψ = ψu+ ψs =
θ +
θ
Uo
π
Toùm taét baøi giaûng - TS Huyønh coâng Hoaøi ÑHBK tp HCM 6
Thaønh phaàn vaän toác
∂ϕ
∂
=
=
θ +
π
ϕ =
θ +
π
∂ϕ
∂θ
=
= −
(
θ
)
= −
θ
θ
Ñieåm döøng (u = 0)
( ur = 0 vaø uθ = 0 )
Nhöõng ñieåm treân treân truïc x : uθ = 0
=
−
+
=
vaø ur = 0 khi
π
π
⎛
⎞
=
⎜
⎜
⎟
⎟
π
Ñieåm döøng S
π
π
⎝
⎠
Nöûa
coá theå
Phöôøng trình ñöôøng doøng ñi ngang
qua ñieåm döøng S
ψ
=
Ñieåm döøng
ψ =
ψ =
θ +
π =
θ
π
q/(2Uo)
π
•
θ +
θ =
π
π −θ
θ
⎛
⎜
⎞
⎟
=
π
⎝
⎠
π
Keát hôïp moät chuyeån ñoäng ñeàu vaø moät ñieåm nguoàn coù theå duøng ñeå moâ taû doøng chaûy bao
quanh nöûa coá theå
2. Chuyeån ñoäng bao quanh truï troøn
y
x
Doøng ñeàu (Uo) + Löôõng cöïc (m0)
o
Uo
Haøm theá vaän toác
Toïa ñoä descartes
Haøm doøng
Toïa ñoä descartes
m0 ⎡
x
⎤
m0
y
Uo x +
ϕ = ϕu+ ϕd =
ψ= ψ u+ ψd =
U0y −
⎢
⎥
2π x2 + y2
2π x2 + y2
⎣
⎦
Toïa ñoä cöïc
Toïa ñoä cöïc
m0 cosθ
2πr
m0 sinθ
2πr
ϕ = ϕu+ ϕd =
U0r cosθ +
U0r sinθ −
ψ = ψu+ ψd =
m0
2πr
⎛
⎞
m0
2πr
⎛
⎞
⎟
= cosθ U r +
⎜
⎟
= sinθ U r −
⎜
0
0
⎝
⎠
⎝
⎠
Toùm taét baøi giaûng - TS Huyønh coâng Hoaøi ÑHBK tp HCM 7
Töø haøm doøng
Ñöôøng doøng
m0
2πr
⎛
⎞
⎟
ψ = sinθ U r −
⎜
0
⎝
⎠
Ñöôøng doøng vôùi ψ = 0
m0
2πr
⎛
⎞
⎟
ψ= 0
sinθ U r −
= 0
⎜
0
⎝
⎠
ψ =ψ1
m0
2πr
⎛
⎞
⎟
or
U r −
= 0
⎜
⎝
sinθ = 0 → θ = kπ
0
⎠
Uo
=
Moät doøng ñeàu keát hôïp vôùi moät
löôõng cöïc coù theå duøng ñeå moâ taû
doøng chaûy bao quanh moät truï troøn
π
Ñöôøng doøng laø 1 voøng troøn taâm
O baùn kính r
Caùc ñöôøng doøng ψ = ψ1, ψ = ψ2, …. Coù daïng
nhu treân hình veõ
Nhö vaäy doøng chaûy bao quanh truï troøn baùn kính
r0 coù haøm theá vaän toác vaø haøm doøng
Neáu truï troøn coù baùn kính ro thì
löôõng cöïc coù cöôøng ñoä mo laø
= π
=
π
r02
r2
⎛
⎞
r02
r2
⎛
⎞
⎜
⎟
⎟
ϕ = Uor cosθ 1+
⎜
⎟
⎟
ψ = Uor sinθ 1−
⎜
⎝
⎜
⎠
⎝
⎠
Thaønh phaàn vaän toác
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
ϕ =
θ
+
+
ψ= 0
⎛
⎞
⎟
⎟
⎠
⎜
⎜
⎝
=
θ
A
q
C
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
∂ϕ
∂
D
ψ= ψ2
ψ =ψ2
=
=
=
θ
−
θ
B
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
∂ϕ
∂θ
Uo
= −
+
θ
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
= −
θ
+
Treâân beà maët hình truï ( r = r0)
= −
θ
=
and
θ
Vaän toác cöïc ñaïi A and B ( θ = ±π/2)
Ñieåm döøng C vaø D ( θ = 0, π)
uθB = 2U0
uθA = −2U0
uθC = uθD = 0
Toùm taét baøi giaûng - TS Huyønh coâng Hoaøi ÑHBK tp HCM 8
AÙp suaát phaân boá treân maët truï
Xeùt moät ñieåm ôû xa maët truï coù vaän toác Uo, aùp
suaát p0 and vaø moät ñieåm treân maët truï vaän toác us,
aùp suaát ps
ψ= 0
AÙp duïng pt Bernoulli
A
+
+
=
+
+
q
B
D
C
ρ
ρ
ψ= ψ2
ψ =ψ2
Boû qua söï thay ñoåi (z) vaø thay uS
Uo
−
θ
+
=
+
ρ
ρ
=
+ ρ
(
−
θ
)
Neáu p0 laø aùp suaát khí trôøi po= 0
=
=
ρ
Aùp suaát cöïc ñaïïi taïi C vaø D
AÙp suaát cöïc tieåu taïi A vaø B
=
ρ
(
−
θ
)
=
= − ρ
AÙp suaát phaân boá treân maët truï
1
2
pS − p0 = ρU02
(
1− 4sin2 θ
)
1
pS − p0 = Cp ρU02
2
Doøng chaûy theá
Cp =
1− 4sin2 θ
Ñöôøng maøu ñoû , ñoái xöùng
Doøng chaûy coù quay
Cp khoâng ñoái xöùng , thí
nghieäm cho ñöôøng maøu xanh
Quan saùt doøng chaûy theá vaø doøng
chaûy coù quay qua moät xe ñang
chuyeån ñoäng
Toùm taét baøi giaûng - TS Huyønh coâng Hoaøi ÑHBK tp HCM 9
3. Doøng chaûy bao quanh truï troøn vôùi moät xoaùy töï do
Doøng chaûy bao quanh truï troøn r0
⎛
⎜
⎜
⎝
− Γ
π
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
ψ =
θ
θ
−
ϕ =
θ
+
r0
Γ
π
ψ =
Xoaùy töï do :
ϕ =
Doøng chaûy bao quanh truï troøn + Xoaùy töï do
Haøm theá vaän toác
Uo
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
Γ
π
ϕ = ϕ +ϕ =
θ
+
+
θ
Haøm doøng
⎛
⎞
Γ
π
⎜
⎜
⎝
⎟
⎟
⎠
ψ =ψ +ψ =
θ
−
−
Thaønh phaàn vaän toác treân maët truï
∂ϕ
∂
∂ϕ
∂θ
Γ
π
=
=
=
= −
θ +
=
θ
=
Ñieåm döøng ( ur = 0 vaø uθ=0) treân maët truï
r
0
Vaän toác treân maët truï
Γ
π
Γ
π
= −
−
θ +
θ +
U
o
=
θ
Γ
=
θ =
Taïi ñieåm uθ = 0
π
Γ < π
2 ñieåm döøng
1 ñieåm döøng
Γ
Γ = π
Γ > π
θ =
π
Khoâng coù ñieåm döøng treân maët truï ( ñieåm
döøng naèm ngoaøi maët truï)
Γ = π
Γ > π
Γ < π
Γ =
Toùm taét baøi giaûng - TS Huyønh coâng Hoaøi ÑHBK tp HCM 10
AÙp suaát treân maët truï
y
Töø pt Bernoulli equation, xeùt ñieåm o ôû xa maët truï vaø
ñieåm s naèm treân maët truïï
Fy
ps
+
+
=
+
+
r0
ρ
ρ
θ
x
•
Boû qua söï thay ñoåi (z) vaø thay us vaøo
U
o
dA = r0dθ
⎛
⎞
Γ
π
⎜
⎜
⎟
⎟
−
θ +
⎝
⎠
+
=
+
ρ
ρ
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
Γ
π
θ
Γ
=
+ ρ
−
θ +
−
π
Toàng löïc taùc duïng treâân maët truï ( cho 1 ñôn vò chieàu daøi tru )ï
π
= −
= −
θ
θ =
∫
∫
π
(Kutta – Jouskowky law)
θ
θ = −ρ
Γ
Löïc naâng Fy ñöôïc goïi goïi laø hieäu öùng Magnus
Söï phaân boá aùp suaát treân maët truï khi Re lôùn
Doøng chaûy qua moät caùnh
Toùm taét baøi giaûng - TS Huyønh coâng Hoaøi ÑHBK tp HCM 11
Thí duï 1:
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ψ
B
yB
ψ
ψ
ψ
ψ
yA
A
xB
xA
ψ = Uo y
Xaùc ñònh l u l ng qua A-B ?
Toùm taét baøi giaûng - TS Huyønh coâng Hoaøi ÑHBK tp HCM 12
12 trang
9800
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Cơ lưu chất - Chương 6: Thế lưu - Huỳnh Công Hoài", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_co_luu_chat_chuong_6_the_luu_huynh_cong_hoai.pdf
