Bài giảng Cơ lưu chất - Chương 2: Tĩnh học lưu chất - Nguyễn Thị Bảy
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
CHÖÔNG
I. HAI TÍNH CHAÁT CUÛA AÙP SUAÁT THUYÛ TÓNH
1. p ⊥ A vaø höôùng vaøo A. (suy ra töø ñònh nghóa).
2. Giaù trò p taïi moät ñieåm khoâng phuï thuoäc vaøo höôùng ñaët cuûa beà maët taùc duïng.
Xem phaàn töû löu chaát nhö moät töù dieän vuoâng goùc ñaët taïi goác toaï ñoä nhö hình veõ:
Caùc löïc leân phaàn töû löu chaát:
Löïc maët : pxδyδz; pyδxδz; pzδyδx; pnδyδs.
Löïc khoái: ½Fδxδyδzρ.
z
p
n n
Toång caùc löïc treân phöông x phaûi baèng khoâng:
pxδyδz - pnδyδs(δz/δs) + ½Fxδxδyδzρ = 0
Chia taát caû cho δyδz :
δz
y
px
δx
θ
x
δs
px - pn + ½Fxρδx = 0 ⇒ px = pn khi δx → 0.
Chöùng minh töông töï cho caùc phöông khaùc
δy
pz
Suy ra:
px =py = pz = pn
THUY TINH 1
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
II. PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CÔ BAÛN
Xeùt löu chaát ôû traïng thaùi caân baèng coù theå tích W giôùi haïn bôûi dieän tích A.
Ta coù toång caùc löïc taùc duïng leân löu chaát =0:
Löïc khoái + löïc maët = 0:
W
pdA = 0
∫∫∫Fρdw − ∫∫
n
A
w
A
Ta xeùt treân truïc x:
b.d.Gauss
p
∫∫∫F ρdw − ∫∫
∫∫∫F ρdw − ∫∫∫
pxdA = 0
div(p.nx )dw = 0
x
x
⇔
w
A
w
W
∂(pynxy )
∂y
⎛
⎞
∂(px nxx )
∂x
∂(pznxz
∂z
⎜
⎜
⎟
⎟
⇔ ρFx −
+
+
= 0
⎝
⎠
∂(px nxx )
∂x
∂(p)
∂x
p=px =py =pz
= 0←⎯⎯⎯⎯→ρFx −
⇔ ρFx −
= 0
Xeùt töông töï cho caùc truïc khaùc
grad(p)dw = 0
∫∫∫Fρdw − ∫∫pdA = 0 ⇔ ∫∫∫Fρdw − ∫∫∫
Keát luaän:
w
A
w
W
1
⇔ F − grad(p) = 0
ρ
III. TÍCH PHAÂN PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CÔ BAÛN
⎫
⎪
⎪
⎪
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
1 ∂p
ρ ∂x
1 ∂p
ρ ∂y
1 ∂p
ρ ∂z
Fx −
= 0× dx
1
F −
= 0× dy + ⇒ (F dx + F dy + F dz) − dp = 0
⎬
y
x
y
z
ρ
⎪
⎪
⎪
⎭
F −
= 0× dz
z
pa
pA
¾Chaát loûng naèm trong tröôøng troïng löïc: Fx, Fy=0, Fz=-g:
hAB
1
p
ρ=const
−gdz= dp⎯⎯⎯→gz+ =const
zA
ρ
ρ
pB
zB
p
pA
pB
chuaån 0
hay: z+ =const ⇔ zA + =zB +
(1)
γ
γ
γ
hay: pB = pA + γhAB hay p = pa+γh
(2)
(1), (2) laø phöông trình thuyû tónh
THUY TINH 2
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
¾Chaát khí naèm trong tröôøng troïng löïc, neùn ñöôïc:
pV
p
= R
hay
= RT
Xem nhö chaát khí laø khí lyù töôûng:
T
ρ
1
RT
− gdz = dp ⇔ −gdz =
dp
ρ
p
Neáu bieát ñöôïc haøm phaân boá nhieät ñoä theo ñoä cao, ví duï: T=T0 – az; a>0,
T0 laø nhieät ñoä öùng vôùi ñoä cao z=0 (thoâng thöôøng laø möïc nöôùc bieån yeân laëng):
R(T −az)
dp
p
dz
g
aR
0
− gdz=
dp⇒
= −g
⇒ lnp =
ln(T −az) + ln(C)
0
p
R(T −az)
0
⇒p = C(T −az)g
aR
0
p0 = CTg ⇒ C =
p0
aR
0
T0g
Goïi p0 laø aùp suaát öùng vôùi z=0:
Phöông trình khí tónh:
aR
g
aR
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
T0 − az
p = p0
T0
AÙp suaát tuyeät ñoái taïi maët bieån yeân laëng laø 760mmHg, töông öùng vôùi
nhieät ñoä T=288 0K. Nhieät ñoä taàng khí quyeån giaûm 6,5 ñoä K khi leân cao
1000m cho ñeán luùc nhieät ñoä ñaït 216,5 ñoä K thì giöõ khoâng ñoåi. Xaùc ñònh
aùp suaát vaø khoái löôïng rieâng cuûa khoâng khí ôû ñoä cao 14500m. Cho
R=287 J/kg.0K
Ví duï 1:
Giaûi:
T0 laø nhieät ñoä öùng vôùi ñoä cao z=0 (maët bieån yeân laëng):
Ta tìm haøm phaân boá nhieät ñoä theo ñoä cao: T=T0 – az; vôùi a=0, 0065
Cao ñoä öùng vôùi nhieät ñoä T1=216,5 ñoä K laø z1= 11000m
Suy ra:
216,5=288 – 0,0065z1
Nhö vaäy töø z0=0 ñeán z1=11000m, aùp suaát bieán thieân theo phöông trình khí tónh:
g
g
9.81
aR
aR
0.0065*287
⎛
⎞
⎛
⎞
T0 − az
T0 − az1
216,5 − 0.0065*11000
⎛
⎜
⎞
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
p = p0
⇒ p1 = p0
= 0.76
T0
T0
216,5
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
p1 = 0.1695mHg
p
p1
0.1695 *13 .6 * 9.81 *10 3
287 * 216 .5
3
Töø:
= RT ⇒ ρ1 =
=
= 0.364 kg/m
ρ
RT1
THUY TINH 3
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
Töø z1=11000 m ñeán z2=14500m, nhieät ñoä khoâng ñoåi neân:
RT
RT
1
1
−
−
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
RT
RT dp
RT
= ez
g
g
1
1
−gdz = 1 dp ⇒ dz = −
⇒ z = −
ln p + ln(C) = ln Cp
⇒ Cp
⎜
⎟
⎠
p
g p
g
Taïi ñoä cao z1 ta coù aùp suaát baèng p1; suy ra:
g
ez
1
(z1 −z)
RT
1
C =
⇒ p = p1e
RT
1
g
( )
p1
Nhö vaäy taïi ñoä cao z2 =14500m ta tính ñöôïc:
g
9.81
278*216.5
(z1 −z2 )
p2 = p1e
= 0.17*e(11000−14500)
RT
1
= 0.09752 mHg = 97.52mmHg
p2ρ1
vaøø:
ρ2 =
= 0.209kg / m3
p1
IV. MAËT ÑAÚNG AÙP, P TUYEÄT ÑOÁI, P DÖ, P CHAÂN KHOÂNG
¾Maët ñaúng aùp cuûa chaát loûng naèm trong tröôøng troïng löïc laø maët phaúng naèm
ngang
¾Phöông trình maët ñaúng aùp:
¾AÙp suaát dö :
Fxdx + Fydy + Fzdz=0
pdö = ptñ - pa
¾Neáu taïi moät ñieåm coù pdö < 0 thì taïi ñoù coù aùp suaát chaân khoâng pck
pck= -pdö = pa – ptñ
¾p trong phöông trình thuyû tónh laø aùp suaát tuyeät ñoái ptñ. hoaëc aùp suaát dö
0
5
6
3
¾Các điểm naøo (?) có áp suất bằng nhau;
7
4
trong ñoaïn oáng 2-5-6 chöùa chaát khí hay
2
1
chaát loûng ?
THUY TINH 4
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
V. ÖÙNG DUÏNG
1. Caùc aùp keá:
p=0, chaân khoâng tuyeät ñoái
pa
B
B
htñ
hdö
pa
A
A
A
hck
A
B
A
A
pduA =pdu −γhck ⇒pckA = γhck
du
du
du
du
pA =pB +γhtd
=
+γ = γ
B
p
p
h
h
A
B
A’
2. Ñònh luaät bình thoâng nhau:
B’
h1
B
γ2
h2
A
Töø p.tr thuyû tónh:
Suy ra
pA=pA’+ γ2h2; pB=pB’+ γ1h1
γ1h1=γ2h2
γ1
3. Ñònh luaät Pascal:
f
Taïi moät vò trí naøo ñoù trong löu chaát neáp aùp
suaát taêng leân moät ñaïi löôïng Δp thì ñaïi löôïng
naøy seõ ñöôïc truyeàn ñi trong toaøn mieàn löu chaát
→ öùng duïng trong maùy neùn thuûy löïc.
p=f/a
F=pA
Pascal 1623-1662 , Phaùp
THUY TINH 5
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
4. Bieåu ñoà phaân boá aùp suaát chieàu saâu:
pa
pa
pa
h
h
h
pdö/γ=h
pdö=γh
pa+γh
pck
h
pck
pck
pck/γ
pck
h
pck/γ
h1=pck/γ
h
pdö=0, ptñ=pa
pck/γ-h
pck-γh
pdö/γ=h-h1
5 . Phaân boá aùp suaát treân moät maët cong:
h
p/γ=h
p/γ=h
6 . AÙp keá vi sai:
pa
pa→pa+ Δp
Ban ñaàu thì p1=p2=pa:
γ1h1= γ2h2
C
Δz
γ2
A
Khi aùp suaát oáng beân traùi taêng leân Δp: p1=pa+Δp; p2=pa
γ1
B
h
h1
h2
pa + Δp = pA = pB − γ1hAB = pC + γ2hBC − γ1hAB
= pa + γ2hBC − γ1hAB
0
⇒Δp=γ2hBC −γ1hAB =γ2(h2 −h+Δz)−γ1(h1 −h−Δz)
⇒ Δp = h(γ1 − γ2 ) + Δz(γ1 + γ2 )
Goïi A, a laàn löôït laø dieän tích ngang oáng lôùn vaø oáng nhoû:
ah
ah
⇒ a.h = A.Δz ⇒ Δz =
⇒ Δp = h(γ1 − γ2 ) + (γ1 + γ2 )
A
A
THUY TINH 6
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
VI. LÖÏC TAÙC DUÏNG LEÂN THAØNH PHAÚNG
pa
O(x)
¾ Giaù trò löïc
α
h
Fdu
=
pdudA = γhdA = γy sin αdA
∫
∫
∫
hD
hC
A
A
A
y
= γ sin α ydA =γ sin αyCA = γhCA = pdCu A
∫
F
A
dA
Fdu = pdCuA
C
¾ Ñieåm ñaët löïc
yD
D
yDF = ydF = yγ sinαydA = γ sinα y2dA = γ sinαIxx
y
∫
∫
∫
A
A
A
Taâm aùp
löïc
Suy ra:
γ sinαIxx
Ixx
IC+yC2 A
yCA
yD =
=
=
F
yCA
x
2
Ixx=Ic+yC A
Ixy=Ix’y’+xCyCA
IC
y
yC
yD = yC +
yCA
Ic
Töông töï :
γ sinαIxy
Ixy
Ix'y'+xCyCA
C
xD =
=
=
F
yCA
yCA
Ix'y'
ycA
xD = xC +
Ic: M. q tính cuûa A so vôùi truïc //0x vaø qua C
Ix’y’: M. q tính cuûa A so vôùi troïng taâm C
¾ Löïc taùc duïng leân thaønh phaúng chöõ nhaät ñaùy naèm ngang:
hA + hB
pC = γ
Ω
hA
2
F
hA
A
hB
hA + hB
⇒ F = ApC = γ
(AB)b
C*
hB
2
D
B
Ñaët:
Ω=(hA+hB).(AB)/2
F=γΩb
Suy ra:
BD=[(hB+2hA)/(hB+hA)].(AB)/3
THUY TINH 7
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
VII. LÖÏC TAÙC DUÏNG LEÂN THAØNH CONG ÑÔN GIAÛN
F = Fx2 + Fy2 + Fz2
dAz
Az
pa
O(y)
x
¾ Thaønh phaàn löïc theo phöông x
Maët
cong A
Fx = ∫dFx = ∫pdA cos(n, ox)
h
A
A
Ax
= γhdAx = γhdAx = pcx Ax
∫
∫
dFx
A
Ax
dAx
(n,ox)
n
¾ Thaønh phaàn löïc theo phöông z
Fz = dFz = γhdA cos(n, oz)
z
dA
∫
∫
A
A
= γhdAz = γW
∫
A
W: theå tích vaät aùp löïc: laø theå tích cuûa vaät thaúng ñöùng giôùi haïn bôûi maët cong A
vaø hình chieáu thaúng ñöùng cuûa A leân maët thoaùng töï do (Az)
pa
¾ Caùc ví duï veà vaät aùp löïc W:
pdö/γ
pdö
pa
pck
Fz
pck/γ
pa
Fz
w
w
w
pck
pa
pck
w
pck/γ
Fz1
pck/γ
Fz
w1
pa
Fz
w2
w
pa
Fz2
Pa
Pck
Pck
Pa
Pdu
w
w
Fz
Fz
Fz
w
Pa
THUY TINH 8
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
pa
pa
pdö
pdö
Fz
Fz
W1: phaàn cheùo lieàn neùt
→Fz1 höôùng leân.
W1: phaàn cheùo lieàn neùt
→Fz1 höôùng xuoáng.
W2: phaàn cheùo chaám
chaám
W2: phaàn cheùo chaám chaám
→Fz2 höôùng xuoáng.
W=W1-W2
→Fz2 höôùng leân.
W=W1-W2
→Fz höôùng xuoáng
→Fz höôùng leân
¾ Löïc ñaåy Archimeøde:
Ar
W1
Ar = γW2 − γW1 = γW
W
W2 (phaàn gaïch cheùo)
Archimede 287-212 BC
THUY TINH 9
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
VIII. SÖÏ CAÂN BAÈNG CUÛA MOÄT VAÄT TRONG LÖU CHAÁT
Ar = −G
G
Ar
Ar
¾ Vaät chìm lô löûng
C
D
D
C
C
D
G
Ar
G
Phieám ñònh
Ar
khoâng oån ñònh
oån ñònh
A
G
¾ Vaät noåi
Ar
M
C
C
D
C
M
D
D
yy
G
G
Ar
khoâng oån ñònh:MD<CD
→M thaáp hôn C
oån ñònh: MD>CD
→M cao hôn C
M: Taâm ñònh khuynh.
Iyy
W
Iyy: Moment quaùn tính cuûa dieän tích maët noåi A so vôùi truïc quay yy.
W: theå tích nöôùc bò vaät chieám choã
MD =
VIII. ÖÙNG DUÏNG
Ví duï 2:
Tính z, pa=76cmHg, γnb=11200 N/m3; γHg=133000
N/m3
pa
Ta coù: pA = pB + γHg hAB=0.84 γHg + γHg hAB
= γHg (0.84+0.8)=1.64 γHg
ptñ =0
z
Maët khaùc: pA – pa = γnb .(z+0.4)
B
40cm
40cm
84cm
A
Suy ra:
Suy ra
(z+0.4)=(pA – pa )/ γnb
=(1.64 γHg - 0.76 γHg )/ γnb
=0.88(γHg / γnb )
=0.88.133000/11200=10.45m
Hg
z = 10.05 m
THUY TINH 10
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
Bình ñaùy vuoâng caïnh a=2m. Ñoå vaøo bình hai chaát
Ví duï 3:
Giaûi:
loûng khaùc nhau, δù1 =0,8; δ =1,1. V1=6m3; V2=5m3.
2
Tìm pB
γ1= δù1 γn=0.8*9.81*10^3 N/m3
γ2= δù2 γn=1.1*9.81*10^3 N/m3
pa
A
γ2
γ1
h1
h2
B
h=1m
Goïi h2 laø beà daøy cuûa lôùp chaát loûng 2: h2=(5/4)m.
Goïi h1 laø beà daøy cuûa lôùp chaát loûng 1: h1=(6/4)m.
Ta coù hAB = h2 – h = 0.25m
a=2m
Suy ra: pB=pA+γ2*hAB= pA + γ2*(0.25)
Suy ra: pB= pa+ γ1*h1 + γ2*(0.25)
Suy ra: pdu B= 0+ γ1*(1.5) + γ2*(0.25)=9.81*103(0.8*1.5+1.1*0.25)=14.5 m nöôùc
Thí nghiệm: Ottovon Guericke (8.5.1654) tại Maydeburg, Đức
Dùng 2 bán cầu D = 37 cm, bịt kín và hút khí để áp suất tuyệt đối trong
qủa cầu bằng không .
Cho 2 đàn ngựa kéo vẫn không tách bán cầu ra được. Vậy phải cần 1 lực
bằng bao nhiêu để tách hai bán cầu ra (xem lực dình giữa 2 bán cầu không
đáng kể)
Chân không p(tuyệt đối) = 0
D
F =?
F =?
THUY TINH 11
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
Van phaúng AB hình chöõ nhaät cao 1,5m, roäng 2m, quay quanh truïc A
naèm ngang nhö hình veõ. Tính aùp löïc nöôùc taùc duïng leân van . Tính löïc F
(xem hình veõ) ñeå giöõ van ñöùng yeân
Ví duï 4:
Giaûi:
F du = pCduA = γhCA = 9.81*103 *(5−1,5/ 2)*1,5*2
Giaù trò löïc:
n
=125.0775 KN
pa
Vò trí ñieåm ñaët löïc D:
2*1.53
O
IC
12
yD = yC +
= 4.25+
= 4.294m
yC=hC
yCA
4.25*1.5*2
yD
F?
A
5m
⇒ DB = 5− 4.294m = 0.706m
1,5m
C
D
Tính caùch khaùc:
Fn
C*
hB + 2hA AB 5+ 2*3.5 1.5
B
y
DB =
.
=
= 0.706m
hB + hA
3
5+ 3.5 3
Ñeå tính löïc F giöõ van yeân, ta caân baèng moment:
Fn(AD)=F(AB)
Suy ra: F=Fn(AD)/(AB)=125.07*(1.5-0.706)/(1.5) = 66.22 KN
Ví duï 5:
Giaûi:
Van phaúng ABE hình tam giaùc ñeàu coù theå quay quanh truïc A naèm ngang
nhö hình veõ. Tính aùp löïc nöôùc taùc duïng leân van vaø vò trí ñieåm ñaëc löïc D .
Tính löïc F ngang (xem hình veõ) ñeå giöõ van ñöùng yeân
pa
O
hC = 3+2/3 = 3.666m
AB chính laø chieàu cao cuûa tam giaùc ñeàu,
E
A
3m
2m
hC
2
2
4
AB =
=
=
= 2.31m
sin(600 )
A
C
F
3
3
2
Caïnh ñaùy AE cuûa tam giaùc: AE=2*AB/tg(600)=2.6
Dieän tích A cuûa tam giaùc: A=(AE)*(AB)/2=3.079
C
D
Fn
B
α=600
B
AÙp löïc: Fndu =γhCA=9.81*3.666*3.079 = 110,76 KN
Toaï ñoä yC = OC= hC/sin(600) = 4.234m
y
b*h3
2.667*2.313
IC
36
yCA
36
OD = yD = yC +
= yC +
= 4.234 +
= 4.304m
yCA
4.234*3.079
Fn(AD)=F(2)
Suy ra:
F=Fn(AD)/(2)=110.76*(OD-OA)/2 = 110.76*(4.304-3.464)/2 =46.507 KN
THUY TINH 12
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
Ví duï 6:
Giaûi:
Van phaúng ABE hình tam giaùc ñeàu coù theå quay quanh truïc A naèm ngang
nhö hình veõ. Tính aùp löïc nöôùc taùc duïng leân van vaø vò trí ñieåm ñaëc löïc D .
Tính löïc F ngang (xem hình veõ) ñeå giöõ van ñöùng yeân
pa
O
hC = 1+ 3+2/3 = 4.666m
AB chính laø chieàu cao cuûa tam giaùc ñeàu,
1m
P0du = 0,1at
2
2
4
E
AB =
=
=
= 2.31m
sin(600 )
3
3
A
hC
3m
2m
2
A
C
F
Caïnh ñaùy AE cuûa tam giaùc: AE=2*AB/tg(600)=2.667m
Dieän tích A cuûa tam giaùc: A=(AE)*(AB)/2=3.079 m2
C
D
Fn
B
AÙp löïc: Fndu =γhCA=9.81*4.666*3.079 = 140,97 KN
α=600
Toaï ñoä yC = OC= hC/sin(600) = 5.389m
B
b*h3
2.667*2.313
IC
y
36
yCA
36
OD = yD = yC +
= yC +
= 5.389 +
= 5.444m
yCA
5.389*3.079
Fn(AD)=F(2)
Ghi chuù: OA=4/sin(600)
Suy ra:
F=Fn(AD)/(2)=140.97*(OD-OA)/2 = 140.97*(5.444 – 4.619)/2 =58.133 KN
Van phaúng ABE hình tam giaùc ñeàu coù theå quay quanh truïc A naèm
ngang nhö hình veõ. Tính aùp löïc nöôùc taùc duïng leân van vaø vò trí ñieåm
ñaëc löïc D . Tính löïc F ngang (xem hình veõ) ñeå giöõ van ñöùng yeân
Ví duï 7:
Giaûi:
pC = -γhC = -9.81*103*(1+ 2-2/3) = -9.81*103* 2.333 N/m2
P0ck = 0,6at
AB =2.31 m
AE= 2.667m
A=3.079 m2
A
3m
A
C
F
AÙp löïc: Fndu =-γhCA=-9.81*2.333*3.079
D
C
= -70.483 KN
2m
1m
Fn
B
α=600
hC
Toaï ñoä yC = - OC= hC/sin(600) = -2.694 m
B
pa
O
b*h3
2.667*2.313
y
IC
36
yCA
36
OD = yD = yC +
= yC +
= −2.694 +
= -2.804m
yCA
− 2.694*3.079
Fn(AD)=F(2)
Ghi chuù: OA=3/sin(600)
Suy ra:
F=Fn(AD)/(2)=140.97*(OA-OD)/2 = 70.483*(3.464 – 2.804)/2 =23.25 KN
THUY TINH 13
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
Ví duï 8:
Van tam giaùc ñeàu ABM caïnh AB=1m ñaët giöõ nöôùc nhö hình veõ (caïnh AB thaúng ñöùng). Aùp
suaát treân bình chöùa laø aùp suaát khí trôøi. Bieát hA=1m. Goïi D laø vò trí ñieåm ñaët löïc F cuûa nöôùc
taùc duïng leân van öùng vôùi ñoä saâu laø hD. Xác định hD
ĐS: hD=1,53m
pa
Hdẫn: Ta để ý thấy công thức tính moment quán tính
hA
A
A
B
hD
đối với tam giác như trong phụ lục:
bh3
M
Ic =
(*)
D
36
so với trục song song với một trong 3 cạnh (đáy b)
B
Trong khi đó, từ lý thuyết đã chứng minh, để xác định vị trí D ta áp dụng công thức:
IC
yD = yC +
yC A
Với Ic là moment q tính của diện tích A so với trục song song Ox và qua trọng tâm C của A
Như vây, muốn ứng dụng công thức (*) trong tính toán yD cần phải có một trong 3 cạnh của
tam giác phải song song với Ox (cụ thể là nằm ngang).
Trong hình vẽ của bài toán, không có cạnh nào của tam giác nằm ngang, nên trước tiên cần
chia tam giác ra hai sao cho một cạnh của mỗi tam giác nhỏ nằm ngang. Sau đó tính lực và
vị trí điểm đặt lực riêng đối với từng tam giác nhỏ. Cuối cùng tìm vị trí điểm đặt lực tổng
theo công thức:
F yD1 + F yD2
1
2
yD =
F + F
1
2
Ví duï 9: Một hệ thống tự động lấy
nước vào ống đường kính D = 0,3 m
được thiết kế bằng một cửa chắn chữ
L. Cửa chắn có bề rộng (thẳng góc với
trang giấy) b = 1,2m và quay quanh O.
Biết áp suất trong ống là áp suất khí
trời và trọng lượng cửa không đáng kể.
a) Giải thích cơ chế hoạt động của cửa
khi độ sâu h thay đổi.
Cửa có bề
rộng b
Cửa chắn nước
vuông góc
Nước
Trục quay
D
L=1m
b) Xác định độ sâu h tối thiểu để cửa
bắt đầu quay.
ống lấy nước
HD: Chọn chiều quay ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương
Phân tích các lực tác dụng lên cửa gồm hai lực:
Fx tác động lên phần van chữ nhật thẳng đứng, moment so với O sẽ là: Fxh/3
Fz tác động lên phần diện tích tròn đường kính D, moment so với O sẽ là: FzL
Để van có thể lấy nước vào ống thì tổng moment: Fxh/3-FzL = γh3b/6 - γ LhπD2/4 >0
Suy ra: h(γh2b/6 - γ LπD2/4) > 0 suy ra: γh2b/6 > γ LπD2/4 suy ra: h2 > (LπD2/4) / (b/6 )
Suy ra:
3Lπ D2
h >
= 0,56m
2b
THUY TINH 14
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
Moät cöûa van cung coù daïng ¼ hình truï baùn kính R=1,5m; daøi L=3m
Ví duï 10:
Giaûi:
quay quanh truïc naèm ngang qua O. Van coù khoái löôïng 6000 kg vaø
troïng taâm ñaët taïi G nhö hình veõ. Tính aùp löïc nöôùc taùc duïng leân van
vaø vò trí ñieåm ñaëc löïc D . Xaùc ñònh moment caàn môû van
1.5
Fx = pcx Ax = γhcx A = 9.81*103 *
*1.5*3 = 33.10KN
2
πR2
4
π*1.52
F = γW = γ
L = 9.81*103 *
*3 = 52KN
z
4
pa
O
F = Fx2 + F2 = 33.102 + 522 = 61.65KN
z
0,6m
F
52
G
1,5m
=1.570796 ⇒ α = 57,520
0,6m
z
Fx
tg(α) =
=
D
Fx 33.1
α
M = G *0.6 = 9.81*6000 *0.6 = 35316 Nm
G
Fz
F
nöôùc
Moät hình truï baùn kính R=2m; daøi L=2m ÔÛ vò trí caân baèng nhö hình
veõ . Xaùc ñònh troïng löôïng cuûa phao vaø phaûn löïc taïi A
Ví duï 11:
Giaûi:
Fz1=γW1
pa
RA = Fx = pcx Ax = γhcx Ax
R
2
= 9.81*103 * *2*2
A
2
= 39.24KN
nöôùc
Fz2=γW2
G
G + F + F = 0
z1
z2
3
⇒ G = γW2 - γW = 9.81*L*( πR2 + R2 )
1
4
G = 263.3941KN
THUY TINH 15
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
Ví duï 12:
Giaûi:
Moät cöûa van cung coù daïng ¼ hình truï baùn kính R=1,5m; daøi L=2m
quay quanh truïc naèm ngang qua O nhö hình veõ. Tính aùp löïc nöôùc taùc
duïng leân van vaø vò trí ñieåm ñaëc löïc D .
AB = 2R 2 = 2*1.52 = 2.12m
Fz1
pa
A
R
Fx = pcx Ax = γhcx A
2.12
2
nöôùc
= 9.81*103 *
*2.12 *2
450
450
C
O
= 44.145 KN
Fx
F
2
Fz2
πR
4
R 2
2
⎛
⎞
⎜
⎜
⎟
Fz = γW = γ
−
L
α
⎟
⎝
⎠
B
2
π*1.5 1.52
⎛
⎞
3
⎜
⎜
⎟
⎟
= 9.81*10 *
−
*2
4
2
⎝
⎠
Fz
= 12.5989 KN
F = Fx2 + Fz2 = 44.1452 +12.602 = 45.91KN
Fz
12.6
tg(α) =
=
= 0.285 ⇒ α = 15.920
Fx 44.15
Ví duï 13
Moät oáng troøn baùn kính r = 1 m chöùa nöôùc ñeán nöûa oáng nhö hình veõ.
Treân maët thoùang khí coù aùp suaát dö po = 0,5 m nöôùc. Bieát nöôùc ôû traïng
thaùi tónh. Tính toång aùùp löïc cuûa nöôùc taùc duïng leân ¼ maët cong (BC) treân
1m daøi cuûa oáng
po
r
B
Giaûi:
C
r
F = pcxAx = γ(0,5+ )r.1= 9810*(0,5+ 0,5)*1= 9810N
x
2
r2
F = γW = γ(π + 0,5r).1 = 9810*1.285 =12605.85N
z
4
F = F2 + F 2 =15973.2 N
x
z
THUY TINH 16
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
Ví duï 14:
Giaûi:
Moät khoái hình hoäp caïnh a=0,3m ñoàng chaát tyû troïng 0,6 noåi treân
nöôùc nhö hình veõ. Tính chieàu saâu ngaäp nöôùc x cuûa hình hoäp .
G = Ar ⇔
γn*a2*x
0.6*γn*a3 =
x
⇒x= 0.6*a =0.6*0.3
x = 0.18 m
Ví duï 15:
Một vật hình trụ đồng chất có tiết diện hình vuông, cạnh là a =
1m, chiều cao là H = 0,8m. Khi cho vào nước, mực nước ngập
đến độ cao là h=0,6m. Lực tác dụng lên một mặt bên của vật và
tỷ trọng của vật là:
ĐS: F=1765,8 N; δ=0,75
Ví duï 16:
Một quả bóng có trọng lượng 0,02 N, phía dưới có buột một vật nhỏ (bỏ qua thể tích)
trọng lượng 0,3N. Cho γkhong khi=1,23 kg/m3. Nếu bơm bóng đầy bằng khí có γkhi=0,8
kg/m3 thì đường kính D quả bóng phải bằng bao nhiêu để bóng có thể bay lên được
Gb
Gv
0.3
gamakk
1.23
gamak
0.8
Wb
D3
D
ĐS:
0.02
0.076
0.14
0.52522
Hdẫn:
Gb + GVat + Gkhi = γkhongkhiWb → Gb + GVat + γkhiWb = γkhongkhiWb
Gb + GVat
Wb =
γkhongkhi − γkhi
Ví duï 17:
Vật đồng chất nằm cân bằng lơ lửng trong môi trường dầu-nước như hình vẽ.
Biết tỷ trọng của dầu là 0,8. Phần thể tích vật chìm trong nước bằng phần thể tích
vật trong dầu. Tỷ trọng của vật ?
Dầu
ĐS: 0,90
Vật
Hướng dẫn: Trọng lượng của vật cân bằng với với lực
đẩy Archimede do dầu tác dụng lên nửa cầu trên và
nước lên nửa cầu dưới
Nước
THUY TINH 17
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
Ví duï 18
Giaûi:
Moät oáng ño tæ troïng nhö hình veõ coù khoái löôïng M = 0,045kg vaø tieát
dieän ngang cuûa oáng laø ω = 290mm2 . Khi boû vaøo trong nöôùc coù tæ troïng
δN = 1 , oáng chìm ñeán vaïch A, vaø khi boû vaøo trong daàu coù tæ troïng δD =
0,9 oáng chìm ñeán vaïch B. Tìm khoûang caùch ñoïan AB
B
•
B
A
ω
Nöôùc
•
•
•
G = gM = γn W = γd (W + LABω)
A
ω
Daàu
⎛
⎞
G
G 1
⎜
ωγn δd
⎝
⎜
⎟
⎟
⇒ W = ; LAB =
−1
γn
⎠
9.81*0.045
1
⎛
⎝
⎞
⎠
LAB =
−1 *1000 =17.24mm
⎜
⎟
290*10−6 *9810 0.9
Ví duï 19:
Giaûi:
Bình truï troøn chöùa chaát loûng trong ñoù coù thaû phao hình caàu. Bình naøy laïi
ñöôïc nhuùng noåi treân maët thoaùng beå chöùa cuøng loaïi chaát loûng. Bieát :
Troïng löôïng cuûa bình laø G1; Troïng löôïng cuûa chaát loûng chöùa trong bình
laø G2;
TyÛ soá caùc chieàu saâu (nhö hình veõ) k=z1/z2;
Tìm troïng löôïng cuûa phao
Theo ñònh luaät Ar.; toaøn boä heä chòu taùc duïng cuûa
löïc ñaåy Ar, höôùng leân, baèng troïng löôïng cuûa khoái
chaát loûng bò vaät chieám choã.
G1
G
G2
Trong khi ñoù löïc theo phöông thaúng ñöùng taùc
duïng leân toaøn boä heä bao goàm G+G1+G2 .
z1
z2
Vaäy:
G + G1 + G2 = Ar = z1A γ
vôùi A laø tieát dieän ngang cuûa bình.
Ar
Xeùt rieâng heä goàm chaát loûng trong bình vaø phao,
ta coù troïng löôïng cuûa phao cuõng baèng troïïng
löôïng cuûa khoái chaát loûng bò phao chieám trong
bình :
G = z2A γ -G2 ⇒ Aγ = (G+G2)/z2
G + G1 + G2 = z1(G+G2)/z2 = kG+kG2.
THUY TINH 18
G1
Suy ra:
⇒ G =
− G2
k −1
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
Ví duï 20: Một bình baèng saét hình noùn cuït khoâng ñaùy ( δ=7.8) được uùp như hình
vẽ. Đaùy lôùn R=1m, ñaùy nhoû r=0,5m, cao H=4m, daøy b=3mm. Tính giới
hạn möïc nöôùc x trong bình ñeå bình khoûi bò nhaác leân.
Vnoncuttrong = πH(R2 + r2 + Rr)/3
Giaûi:
Vnoncutngoai = πH((R + b)2 + (r + b)2 + (R + b)(r + b))/3
Troïng löôïng bình:
G = γnδV = γnδ(Vnoncutngoai − Vnoncuttrong ) =1000*7.8*0.057 = 441.96kgf
Ta tính löïc Fz höôùng leân do nöôùc taùc duïng leân bình:
r
x
R − rx
R − r
πx
x
Từ quan hệ:
b
=
⇒ rx = R −
(
R − r
)
H
H
H
⎡
⎤
F = γn W = γn R2πx −
(R2 − rx2 + Rrx )
rx
z
⎢
⎥
⎦
3
⎣
πx
x
x
⎡
⎤
x
W
= γn
= γn
2R2 − (R − (R − r))2 − R(R − (R − r))
⎢
⎣
⎥
⎦
3
H
H
2
R
⎡
⎤
⎥
πx 3R(R − r)
3
(R − r)
⎛
⎜
⎞
⎟
x −
x
= 392.7x2 −16.36x3
⎢
Fz
H
H
⎝
⎠
⎢
⎥
⎣
⎦
Ñieàu kieän: G ≥ Fz
⇔16.36x3 −392.7x2 + 441.96 ≥ 0
Suy ra: 441.96 ≥ Fz
Giaûi ra ñöôïc x ≤ 1.09 m
THUY TINH 19
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
VIII. TÓNH HOÏC TÖÔNG ÑOÁI
1.Nöôùc trong xe chaïy tôùi tröôùc nhanh daàn ñeàu:
z
x
O
α
•Phaân boá aùp suaát:
A
1
a
H
(Fdx+Fdy+Fdz)− dp=0
vôùi Fx=-a; Fy=0; Fz=-g
x
y
z
ρ
B
Suy ra:
g*
g
1
p
ρ
(−adx − gdz) − dp = 0 ⇒ ax + gz + = C
ρ
Ñoái vôùi hai ñieåm A,B thaúng ñöùng:
pA
ρ
pB
ρ
+ gzA =
+ gzB ⇒ pB = pA + γhAB hay p = pa + γh*
•P.tr Maët ñaúng aùp:
a
g
(−adx − gdz) = 0 ⇒ ax + gz = C ⇒ z = − x + C
2.Nöôùc trong bình truï quay ñeàu quanh truïc thaúng ñöùng:
z
•Phaân boá aùp suaát:
H/2
H/2
H
ÔÛ ñaây: Fx=ω2x; Fy=ω2y; Fz=-g.
A
B
r
O
ω2r
Suy ra:
1
p ω2r2
(ω2xdx+ω2ydy−gdz)− dp=0⇒z+ −
=C
ρ
γ
2g
g
ω
Ñoái vôùi hai ñieåm A,B thaúng ñöùng:
2
pA ω2rA
pB ω2rB2
=zB + −
zA + −
⇒pB =pA +γhABhay p=pa +γh*
γ
2g
γ
2g
•P.tr Maët ñaúng aùp:
ω2r2
2g
ω2r2
2g
(ω2xdx+ω2ydy−gdz)=0⇒z−
=C⇒z =
+C
THUY TINH 20
Tải về để xem bản đầy đủ
26 trang
22220
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Cơ lưu chất - Chương 2: Tĩnh học lưu chất - Nguyễn Thị Bảy", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_co_luu_chat_chuong_2_tinh_hoc_luu_chat_nguyen_thi.pdf
