Bài giảng Biến đổi năng lượng điện cơ - Bài: Giải tích hệ thống điện cơ dùng các phương pháp năng lượng

Biến đổi năng lượng

điện cơ

-Phân tích Hệ thống điện cơ

dùng phương pháp năng lượng

Bộ môn Thiết bị điện

Biến đổi năng lượng điện cơ

Hệ thống lò xo

 Các yếu tố trong hệ thống cơ khí: khối lượng (động năng), lò xo (thế năng), và

bộ giảm xóc (tắt dần). Định luật Newton được dùng cho các phương trình

chuyển động.

 Xét một khối lượng M = W/g được treo bởi một lò xo có độ cứng K. Tại điều

kiện cân bằng tĩnh, trọng lực W = Mg bằng với lực lò xo Kl, trong đó l là độ giãn

của lò xo gây bởi trọng lượng W.

 Nếu vị trí cân bằng được chọn làm gốc, chỉ có lực gây dịch chuyển được xem

xét. Xét sơ đồ như hình Fig. 4.35(c).

 Định luật Newton: Lực gia tốc theo chiều dương của x bằng tổng đại số của

tất cả các lực tác động lên vật thể theo chiều dương của x.



Mx  Kx

hay



Mx  Kx  0

Bộ môn Thiết bị điện

Biến đổi năng lượng điện cơ

Hệ thống lò xo với yếu tố tổn hao

 Nếu vị trí ban đầu được chọn làm gốc (Fig. 4.36), vậy



My  K y  l  0

 



My  Ky  Mg



My  Ky  Mg

 Chú ý

Mg  Kl

 Xét vật thể M được đặt trên một lò xo (Fig. 4.37), và một bộ giảm xóc. f(t) là

lực tác động. x được đo từ vị trí cân bằng tĩnh. Một bộ giảm xóc lí tưởng có lực

tỉ lệ với vận tốc giữa 2 điểm, kí hiệu như trên hình Fig. 4.38.

f(t)

f_K1

f_B1



Mx  f t  f_K1 f_{K 2} f_B

 

dx

dt

M

 f



t  K₁x  K₂x  B



x

f_K2

Bộ môn Thiết bị điện

Biến đổi năng lượng điện cơ

Ví dụ 4.17

 Viết các phương trình cơ học cho hệ thống trong hình Fig. 4.40.

x₁

x₂

K₁x₁

K₂x

K₃x₂

M₁



B₃x₂

B₁x₁

B₂x



B₂x

f₁(t)

f₂(t)

 Đặt x₂– x₁= x



 



 



 



M₁x₁ f₁t  K₂x₂ x₁ B₂x₂ x₁ B₁x₁ K₁x₁



M₂x₂ f₂

Biến đổi năng lượng điện cơ

 

x₂ x₁





t



 B₂





 K₂



x₂ x₁ B₃x₂ K₃x₂



Bộ môn Thiết bị điện

Mô hình trạng thái

Động học của hệ thống được mô tả qua việc viết các phương trình điện học và

cơ học. Những phương trình này được kết hợp với nhau cho ra một tập hợp các

phuơng trình vi phân bậc nhất dùng để phân tích. Đây được coi là mô hình trạng

thái của hệ thống.

 VDụ. 4.19: Cho hệ thống như hình Fig. 4.43, viết các phương trình điện học

và cơ học của chuyển động dưới dạng phương trình trạng thái. Từ thông móc

vòng như VD. 4.8,

N ²i²

N²i

W_m^'



 



 

2R x

   

R_c R_gx R x

 Về mặt điện học,

N ²di N ²i 2 dx

v_s iR 



2

R



x



dt

 A dt

 

R x

0

Bộ môn Thiết bị điện

Biến đổi năng lượng điện cơ

Mô hình trạng thái (tt)

 Về phía cơ,

d ²x

dt²

dx

N ²i²

₀AR²

M

 K



x l



 B  f ^e 

dt

x

Trong đó l > 0 là vị trí cân bằng tĩnh của phần chuyển động. Nếu vị trí của phần

chuyển động được xác định từ điểm cân bằng thì các phương trình cơ học có

biến (x – l). Quan hệ ở trên có được với điều kiện sau,

2

   

d x  l d x  l



 0

dt²

dt

 Mô hình trạng thái của hệ thống là tập hợp 3 phương trình vi phân bậc nhất.

Ba biến trạng thái là x, dx/dt (hay v), và i.

Bộ môn Thiết bị điện

Biến đổi năng lượng điện cơ

Mô hình trạng thái (tt)

 Ba phương trình bậc nhất có được bằng việc lấy vi phân x, v, và i, được biểu

diễn dưới dạng đạo hàm

dx



 v

x₁ f₁



x₁, x₂, x₃



dt

2 2









dv 1  N i

dt M





 K



x  l  Bv



x₂ f₂



x₁, x₂, x₃





2

 

₀AR x







di 1

N ²i 2





 iR 

v  v_s

x₃ f₃



x₁, x₂, x₃,u









2

dt L



x



 A

 

R x

0



N ²

Trong đó

L



x 



 

R x

Bộ môn Thiết bị điện

Biến đổi năng lượng điện cơ

Điểm cân bằng

 Xét phương trình

. Nếu ngõ vào u là hằng số, thì bằng



 

x  f x,u

việc đặt

, ta nhận được các phương trình đại số



ˆ

 

0  f x,u

x  0

. Phương trình này có thể có nhiều nghiệm được gọi là các điểm cân

bằng tĩnh.

 Trong các hệ thống ít biến, có thể giải bằng hình học. Nếu hệ thống

nhiều biến, cần dùng các kĩ năng số học để tìm nghiệm.

 Với VDụ. 4.19, đặt các đạo hàm bằng 0, ta được

2

N ²

₀AR²



i^e



e

v^e 0

i^e v_sR

 

 K x  l 

 

  f i , x



x



x^ecó thể tìm được bằng hình học, bằng cách tìm điểm giao nhau của

–K(x – l) và f^e(i^e, x).

Biến đổi năng lượng điện cơ

Bộ môn Thiết bị điện

Phép tích phân số

 Hai phương pháp: ẩn và hiện. Phương pháp Euler là phương pháp hiện, dễ

dàng thiết lập hơn cho các hệ thống nhỏ. Với các hệ thống lớn, phương pháp ẩn

tốt hơn cho sự ổn định số học.

 Xét phương trình



 

x  f x,u

x



0  x₀



Trong đó x, f, và u là các vector.

 Thời gian tích phân sẽ được chia thành các bước đều nhau t (Fig. 4.45).

Trong một bước từ t_ntới t_n+1, hàm lấy tích phân được giả sử là hằng số tại giá trị

tương ứng với thời điểm t_n. Vì vậy,

t_n1



x



t



dt  f



x,u



dt

 



t_n

x



t_n1



 x



t_n





t_n1 t_n



f



x



t_n



,u



t_n



 t



f



x



t_n



,u



t_n





Bộ môn Thiết bị điện

Biến đổi năng lượng điện cơ

Ví dụ 4.21

 Tính x(t) tại t = 0.1, 0.2, và 0.3 seconds.

t  2

x²



 

x 0 1



x  



 Chọn t = 0.1 s. Công thức tổng quát để tính x⁽ⁿ⁺¹⁾là



n1





n



n



n  0,1,2,...

0  2

1² 2

 





x  x  t f



x^,t_n



x^⁰,t₀



 





x^⁰ 1



 Tại t₀

f



1





0









x  x  t f



x^⁰,t₀

1 0.1  2  0.8

  0.1 2

0.8² 1.344

x^¹ 0.8



x^¹,t₁







 Tại t₁= 0.1 s

f



2





1



x^¹,t₁



 0.8 0.1 1.344  0.6656









x  x  t f



x^ 0.4939

4



x^³ 0.5681



 tương tự,

Bộ môn Thiết bị điện

Biến đổi năng lượng điện cơ

Ví dụ 4.22

 Tìm i(t) bằng phương pháp Euler. R = (1 + 3i²) W, L = 1 H, và v(t) = 10t V.

di

dt

1 3i²



 

i 0  0

 

 v t

L  iR  v t

 i



dt

 Đặt i = x, và v(t) = u

dx



1 3x²



x



0



 0  x^⁰

  

x  u t  f x,u,t



 



dt

x^^n1 x^ⁿ tf x^ⁿ,u^,t_n





n



n  0,1,2,...

x^¹ 0



x^⁰,u^,t₀



 0

1 0²



0



0



x^⁰ 0

u^ 0

f





f



x^¹,u^¹,t₁



 





0  0.25  0.25



x^¹ 0 u^¹ 0.25

x^² x^¹



0.025



0.25



 0.00625





Bộ môn Thiết bị điện

Biến đổi năng lượng điện cơ

Ổn định của hệ thống điện cơ – Giới thiệu

 Mô hình động học của hệ thống điện học được mô tả bằng các phương trình vi

phân. Sự ổn định của hệ thống phi tuyến rất được quan tâm. Một vài công cụ để phân

tích sự ổn định sẽ được giới thiệu.

 Nghiệm thời gian của hệ thống động nhận được bằng việc lấy tích phân và các

điểm cân bằng được tính bằng hình học. Với các hệ thống bậc cao, các kĩ thuật số

học được dùng để tìm các điểm cân bằng.

 Việc biết các điểm cân bằng tĩnh ổn định hay không là cần thiết. Nếu trạng thái x

hay ngõ vào u có nhiều nhiễu, thì cần phải mô phỏng trong miền thời gian. Nếu xung

quanh các điểm cân bằng có các nhiễu loạn nhỏ, thì chỉ cần dùng phép phân tích

tuyến tính để xác định điểm cân bằng ổn định hay không. Đôi khi, các hàm năng

lượng có thể được dùng để đánh giá sự ổn định của hệ thống trong trường hợp nhiều

nhiễu, mà không cần phải mô phỏng trong miền thời gian.

Bộ môn Thiết bị điện

Biến đổi năng lượng điện cơ

Tuyến tính hóa

 Điểm cân bằng đại diện cho trạng thái xác lập hiện tại của hệ thống, ví dụ xét

một hệ thống điện. Hệ thống vật lý có thể tùy thuộc vào nhiễu loạn nhỏ (vdụ

những thay đổi của tải), mà dẫn tới các dao động và thậm chí mất điện, hay các

nhiễu loạn lớn (vdụ làm hỏng hay phóng điện).

 Trường hợp vô hướng, mô hình hệ thống là



 

x  f x,u

 Mở rộng f(x, u) thành chuỗi Taylor quanh điểm cân bằng x^evà ngõ vào hằng số

,

ˆ

u

f

x

f

u

f

x

f

u

e

x  x^e





u  u  f



x ,u





x 

u

ˆ

 

f x,u  f







x ,u







0

hay

f

x

f

e



ˆ

x  f



x,u



 f



x ,u



 x  u

u

0

Bộ môn Thiết bị điện

Biến đổi năng lượng điện cơ

Tuyến tính hóa hệ thống bậc 2







x₁ f₁x₁, x₂,u







x₂ f₂x₁, x₂,u

e

 Cho

,

^e, và

. Tuyến tính hóa hệ

ˆ

u  u  u

x₂ x₂ x₂

x₁ x₁ x₁

thống quanh điểm cân bằng ta được















f₁

u



f₁

x₁

f₂

x₁

f₁







x

 

1

x



x₂

 

1

0

₀



0





u

 





x

x



f₂

f₂

u

 

2





x₂





₀





₀



A

 Các định trị của A nhận được bằng việc giải phương trình det(A – I) = 0. Hệ

thống ổn định nếu tất cả định trị nằm ở mặt phẳng bên trái ( phần thực < 0).

Bộ môn Thiết bị điện

Biến đổi năng lượng điện cơ

Sự ổn định của hệ thống bậc 2

 Xét mô hình của một hệ thống bậc 2

d ²x

dt²

dx

 

M

 B  f x,u

dt

Có dạng tuyến tính

d ²x B d

1 f x

M x

 



x 

x  ₀²x

dt²

M dt

0

 Đặt

và

, dạng phương trình trạng thái là



x  x₁

x  x₂



x

  

0

1

x

 

1



 





₀² B M



x₂

  

x₂

 

 Phương trình đặc tính,

 

1





B

²   ₀² 0

 0







₀² B M  

M



Bộ môn Thiết bị điện

Biến đổi năng lượng điện cơ

Sự ổn định của hệ thống bậc 2 (tt)

 Các nghiệm của phương trình đặc tính

B

B²

4M ²

₁,₂ 



₀²

2M

2

 Trường hợp I (B > 0, M > 0,

)

₀ 0

B²

4M ²

B²

4M ²

B²

4M ²

 ₀²

 ₀²

 ₀²

 Cả 3 trường hợp hệ thống đều ổn định.

2

 Trường hợp II (B > 0, M > 0,

)

₀ 0

2

 Trường hợp đặc biệt (B = 0, M > 0): hệ thống không ổn định nếu

, hoặc

₀ 0

2

cận ổn định nếu

.

₀ 0

 VDụ. 5.1.

Bộ môn Thiết bị điện

Biến đổi năng lượng điện cơ

Các phương pháp hàm năng lượng cho hệ thống

phi tuyến

 Khi có các nhiễu lớn, việc phân tích sự ổn định của các hệ thống phi tuyến có

thể cần các kĩ thuật số học phức tạp. Trong nhiều trường hợp, thông tin có ích có

thể nhận được bằng cách trực tiếp, để tránh phép tích phân. Kĩ thuật này dựa

trên các hàm năng lượng, và được biết dưới tên gọi là phương pháp Lyapunov.

Có thể nhận được các nghiệm tốt với các hệ thống bảo toàn.

 Trong hệ thống bảo toàn, tổng năng lượng được giữ không đổi, điều này được

dùng trong việc phân tích sự ổn định của hệ thống. Xén một con lắc như hình Fig.

5.2, bao gồm 1 vật thể khối lượng M được nối với một trục quay (không có ma

sát) qua một thanh cứng.

 Cho V() = 0 tại  = 0, tại mọi vị trí , thế năng được tính bằng

 

 



V   Mgl 1 cos 

Bộ môn Thiết bị điện

Biến đổi năng lượng điện cơ

Các hệ thống bảo toàn

 Không có lực nào ngoài trọng lực, và hệ thống được bảo tòan, nên

d ²

dt²

J

 Mg

l sin

 

 Vế phải biểu diễn dưới dạng đạo hàm âm của hàm vô hướng thế năng. Khi đó,

 

V 





 



 

 Mgl sin   



Mgl 1 cos 



 



Dẫn tới

2

 

d  V 

J

 

dt²



V

 



 Các điểm cân bằng là nghiệm của

 Trong khoảng – tới +,



 Mgl sin



  0





 ^e , 0

Bộ môn Thiết bị điện

Biến đổi năng lượng điện cơ

Năng lượng

d ² V

 



 Xét

J



 0

 

dt²



2

d d  V  d

dt

 Nhân với d/dt ta được

 Tích phân theo t, ta được

J



 0

dt²

 dt

2

1 d

 

2 dt

 

 V   E

J

 



 



Potential energy

Kinetic energy

 Phân tích ổn định có thể thực hiện cho 3 trường hợp khác nhau (xem sách)

Bộ môn Thiết bị điện

Biến đổi năng lượng điện cơ

Hàm năng lượng trong hệ thống điện cơ

 Xét hệ thống dưới, giả sử cả hệ thống điện và cơ đều không chứa các yếu tố

gây tổn hao.

 Nếu  hoặc i tại mỗi cổng được giữ

I₁

+

e

T or f^e

+

không đổi, một sự di động không đổi

có thể xảy ra ở hệ thống điện cơ.

Không có năng lượng hay đồng năng

lượng chảy vào cổng điện. Ở phía hệ

thống cơ, không có các yếu tố gây

tổn hao

₁

_

Electro-

mechanical

coupling

Mech.

system

 or x

I₂

_

+

₂

_

U

 



T ^m 

(lực cơ)



 Thế năng tổng quát:

'

(hằng số i₁và i₂)

 





V   U  W_mI₁, I₂,

(hằng số ₁và ₂)

V







 U







W_m



₁,₂,



Bộ môn Thiết bị điện

Biến đổi năng lượng điện cơ